RUANG HASIL KALI DALAM, BASIS ORTONORMAL, PROSES GRAM-SCHMIDT

                                       


                                                            Nama   : Farahdiba soumena 

                                                            Nim       :202231006 

                                                            Kelas     : A 

                                                            Jurusan : Teknik informatika   

matkul     : Aljabar linear 

 

 

A. Ruang Hasil Kali Dalam(inner product)

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

  • Simetris: (u,v) = (V, u)

  • Aditivitas: (+v, w) (u, w) + (v, w)

  • Homogenitas :(kū, v) = k(u, v), untuk k skalar

  • positivitas: (u,u) > 0 dan ((ū, u) = 0 ↔ ū = 0) 

example :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn, maka :

                  [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.


B. Basis ortonormal

Definition 

Diberikan V merupakan ruang hasil kali dalam, dengan V1, V2V, EV.

  1. V = {V1, V2 V} disebut Himpunan Orthogonal jika: setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu (vi, vj) = 0 untuk i j dan i, j = 1, 2, . . ., n
  2.  V=V1, V2. Vn} disebut Himpunan Orthonormal jika:
  • V adalah himpunan orthogonal
  • Norm v; = 1 untuk i = 1, 2,...,n

Basis Orthonormal adalah himpunan orthonormal yang diperoleh dari transformasi basis ruang vektor V


C.Proses Gram-schmidt

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah :

Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|

Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus : 

Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus :

Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :



 





Komentar